Pendant des décennies, l’une des questions non résolues les plus importantes des mathématiques s’est trouvée au carrefour de la physique et de l’abstraction pure, à savoir si les équations qui décrivent le mouvement des fluides produisent toujours des résultats cohérents, ou si elles peuvent s’effondrer. Le 8 septembre, OpenAI a annoncé avoir généré une démonstration montrant qu’elles peuvent effectivement s’effondrer. Selon l’entreprise, il s’agit du tout premier problème ouvert d’envergure en mathématiques à être résolu par un ordinateur.
Le problème qui a perplexé des générations de mathématiciens
Les équations de Navier-Stokes constituent le modèle mathématique standard pour le mouvement des fluides. Elles décrivent le comportement des liquides et des gaz, qu’il s’agisse du sang qui circule dans les artères ou de l’air qui se déplace autour de l’aile d’un avion. La question au cœur de l’un des sept “problèmes du millénaire” posés par le Clay Mathematics Institute était faussement simple, car il s’agissait de savoir si ces équations produisent toujours des solutions fluides et bien comprises, ou si elles peuvent engendrer quelque chose d’impossible physiquement.
La réponse d’OpenAI est la seconde option. Selon le informaticien Ven Chandrasekaran, qui s’est exprimé lors d’une conférence de presse, la démonstration prouve qu’il existe des fluides qui, lorsqu’ils sont régis par les équations de Navier-Stokes, peuvent théoriquement atteindre une vitesse infinie en un temps fini. Ce résultat est physiquement impossible pour tout fluide réel. Aucun liquide ou gaz ne se comporte réellement de cette manière. Ce que le résultat révèle, c’est que dans certaines conditions, les équations peuvent ne pas refléter fidèlement la réalité physique. En d’autres termes, les mathématiques peuvent produire des absurdités, et il existe désormais une démonstration formelle de ce fait.
Chacun des sept problèmes du millénaire est assorti d’un prix d’un million de dollars américains de la part du Clay Mathematics Institute. Martin Bridson, le président de l’institut, a qualifié cette annonce de “journée passionnante” alors que le monde contemple “les avancées majeures dans la compréhension humaine des mathématiques”.
Une course à fronts multiples
Ce qui rend ce moment particulièrement marquant, c’est qu’OpenAI n’était pas seul à poursuivre cet objectif. L’annonce est intervenue au milieu d’un ensemble d’efforts parallèles qui se sont déroulés à quelques jours d’intervalle.
Le 7 septembre, les mathématiciens Levent Alpöge de l’Université Harvard et Tristan Buckmaster de l’Université de New York ont publié un article présentant une solution pour une version simplifiée du problème du mouvement des fluides, à savoir le cas où le fluide n’a aucune viscosité. Leurs travaux ont également démontré qu’une vitesse infinie pouvait être atteinte dans ces conditions. Pour parvenir à ce résultat, ils ont utilisé une combinaison d’outils, à savoir le modèle Claude d’Anthropic, ainsi que les modèles Codex et Astra d’OpenAI. Ils ont également déclaré qu’une solution au problème plus général était imminente.
Le même jour, Anima Anandkumar, informaticienne au California Institute of Technology, et ses collaborateurs ont publié leur propre solution pour la version sans viscosité, en utilisant une approche technique différente, à savoir un réseau de neurones informés par la physique plutôt qu’un LLM à usage général.
OpenAI, de son côté, testait son dernier prototype d’IA sur l’ensemble des six problèmes du millénaire actuellement non résolus. Le 1er septembre, après avoir entendu des rapports selon lesquels Alpöge et Buckmaster étaient proches d’un résultat, l’entreprise a réorienté ses ressources spécifiquement vers le problème de Navier-Stokes. L’ampleur des calculs impliqués était considérable. Sebastian Bubeck, mathématicien chez OpenAI, a indiqué aux journalistes que le modèle avait d’abord résolu une version simplifiée de la question en 50 heures en utilisant 1 000 agents IA. L’équipe est ensuite montée en puissance en déployant 10 000 agents pour s’attaquer au problème complet de Navier-Stokes. Sebastian Bubeck a décrit ce moment comme “l’aboutissement spectaculaire de la trajectoire observée au cours des 12 derniers mois”, alors que les systèmes d’IA s’attaquaient à des problèmes d’une complexité et d’une portée croissantes.
Terence Tao, mathématicien à l’Université de Californie à Los Angeles, a qualifié les travaux d’Alpöge et de Buckmaster de “remarquable réalisation”.
Pourquoi cela compte au-delà des équations
Voici ce que la plupart des couvertures médiatiques de cette histoire risquent de manquer, car l’importance ne réside pas seulement dans le fait qu’un problème célèbre ait été résolu. Ce qui importe, c’est ce que le processus révèle sur l’évolution de la relation entre l’expertise humaine et la puissance de calcul dans la découverte scientifique.
Le résultat concernant Navier-Stokes n’a pas émané d’un seul système d’IA travaillant de manière isolée. Il est issu d’une collaboration étroite, avec des mathématiciens humains dirigeant l’effort, des modèles d’IA gérant la charge de calcul à une échelle qu’aucune équipe humaine ne pourrait soutenir, et de multiples groupes de recherche travaillant en parallèle, chacun utilisant des outils et des approches différents. Les 10 000 agents déployés par OpenAI représentent une forme de travail intellectuel qui accroît ce que les chercheurs humains peuvent entreprendre, et non un remplacement de l’intuition mathématique qui a formulé la question au départ.
Le fait que trois groupes distincts aient convergé vers des résultats similaires en l’espace de quelques jours témoigne également de la période actuelle de la science assistée par l’IA. Les outils ont atteint un seuil où des problèmes véritablement ardus, des problèmes qui ont résisté aux efforts humains pendant des générations, sont désormais à portée de main. Cela modifie ce que les équipes de recherche peuvent tenter, et cela change le rythme auquel les mathématiques et la physique peuvent progresser.
En bref
OpenAI a annoncé le 8 septembre avoir prouvé que les équations de Navier-Stokes peuvent s’effondrer, résolvant ainsi l’un des sept problèmes du millénaire posés par le Clay Mathematics Institute. La démonstration montre que des fluides théoriques régis par ces équations peuvent atteindre une vitesse infinie, un résultat physiquement impossible qui met en lumière les limites du modèle lui-même. Deux autres groupes de recherche, l’un dirigé par les mathématiciens Alpöge et Buckmaster à l’aide de plusieurs outils d’IA, et l’autre dirigé par Anandkumar à l’aide d’un réseau de neurones informés par la physique, ont publié des résultats connexes le même jour. OpenAI a utilisé 10 000 agents d’IA pour s’attaquer à l’ensemble du problème. Ce résultat constitue un jalon non seulement pour les mathématiques, mais aussi pour ce que la recherche scientifique augmentée par l’IA peut désormais accomplir.
D’après un reportage de Nature: Machine Learning.