Un’idea matematica che resisteva alla risoluzione fin dal XIX secolo è stata confutata nel 2025, non da un team di ricercatori che vi ha lavorato per anni, ma da un matematico che lavorava a fianco di un modello di IA durante una partita di calcio. Il risultato è stato verificato in modo indipendente. Viene descritta dai matematici come la congettura più significativa alla cui risoluzione l’IA abbia contribuito finora.
Una congettura sopravvissuta per oltre un secolo
La congettura di Jacobian ha una lunga storia. Il matematico ceco Ludwig Kraus ne propose una prima versione nel 1884. Il matematico tedesco Ott-Heinrich Keller la espanse nella sua forma attuale nel 1939. La congettura riguarda le funzioni polinomiali: operazioni matematiche che prendono un insieme di numeri come input e producono un nuovo insieme come output, spostando di fatto i punti nello spazio secondo regole fisse.
La questione chiave posta dalla congettura è se una specifica proprietà di tali funzioni, chiamata determinante Jacobian, garantisca l’invertibilità. Se il determinante è sempre una costante diversa da zero, la congettura sostiene che debba sempre esistere un modo per invertire la funzione e riportare ogni punto alla sua posizione originale. Confutarla richiede di trovare un controesempio: una funzione in cui il determinante è una costante diversa da zero, ma i punti si fondono comunque, rendendo impossibile l’inversione.
I matematici sapevano cosa stavano cercando. Trovarlo era il problema. Lo spazio di ricerca tra tutte le possibili funzioni polinomiali è vastissimo, ben oltre ciò che i ricercatori umani possono verificare sistematicamente. Il vincitore della Fields Medal Stephen Smale ritenne il problema abbastanza significativo da includerlo in una lista del 1998 dei 18 principali problemi matematici per il XXI secolo.
Come è stata trovata la confutazione
Levent Alpöge, un matematico affiliato sia ad Anthropic sia alla Harvard University, ha utilizzato Claude Fable 5 di Anthropic per affrontare il problema. Il risultato è stato una funzione polinomiale tridimensionale con un determinante Jacobian costante che tuttavia fonde più punti di input, rendendola irreversibile. Questo è precisamente il tipo di controesempio che la congettura sosteneva non potesse esistere.
Alpöge ha pubblicato il risultato su X, attribuendo al matematico Akhil Mathew della University of Chicago il merito di aver suggerito il problema. Da allora diversi matematici indipendenti hanno verificato il risultato. Abhishek Saha, matematico della Queen Mary University of London, lo ha descritto a New Scientist come “probabilmente la più grande congettura che l’IA ha contribuito in modo significativo a dimostrare o confutare finora nella matematica”.
Un limite importante: la confutazione si applica a spazi a tre o più dimensioni. Se la congettura valga in spazi a dimensioni inferiori rimane una questione aperta.
Cosa ci dice davvero questo risultato sull’IA nella matematica
Ecco ciò che gran parte della copertura mediatica di questa storia sottovaluta. Trovare un controesempio non equivale a comprendere perché la congettura sia falsa. Il matematico della Columbia University Andrew Blumberg lo ha detto chiaramente: il risultato mostra soprattutto che ci sono “molti polinomi”, difficili da verificare per i soli esseri umani. L’IA, in questo caso, ha funzionato come un motore di ricerca straordinariamente capace all’interno di uno spazio di oggetti matematici troppo grande per l’esplorazione manuale.
Questo è genuinamente utile. Ma è anche genuinamente limitato. Una dimostrazione matematica completa può superare le 100 pagine, documentando non solo la risposta ma anche il ragionamento che vi conduce. I modelli di IA attuali non sono ancora in grado di produrre quel tipo di struttura logica affidabile e passo dopo passo. Akhil Mathew, menzionato nel post di Alpöge, ha descritto chiaramente la situazione: l’IA può verificare che qualcosa sia corretto, ma non racconta ancora una storia. Fa emergere il “come” senza illuminare il “perché”.
Blumberg ha offerto un’analogia calzante: se Mosè scendesse da una montagna con una tavola recante la scritta “il cancro può essere curato”, la sola affermazione non sarebbe sufficiente. Il valore della risoluzione di un problema difficile risiede non solo nella risposta, ma in ciò che il percorso verso la risposta rivela sulla struttura sottostante del mondo. Smale incluse la congettura di Jacobian nella sua lista proprio perché credeva che risolverla avrebbe approfondito la comprensione di come è organizzata la natura.
Questa tensione sta plasmando la risposta della comunità matematica. Dopo una distinta svolta assistita dall’IA che ha riguardato un problema vecchio di 80 anni posto dal matematico ungherese Paul Erdős, 16 matematici hanno pubblicato la Leiden Declaration on Artificial Intelligence and Mathematics, approvata dalla International Mathematical Union. Essa richiede la trasparenza sull’uso dell’IA, la corretta attribuzione dei lavori precedenti e la pubblicazione sottoposta a peer-review prima degli annunci pubblici. La dichiarazione riflette una comunità che cerca di stabilire rapidamente delle norme, mentre il ritmo delle scoperte assistite dall’IA accelera più velocemente del previsto.
Mathew ha descritto questo cambiamento come “molto rapido e molto disorientante, specialmente per i matematici più giovani”. È una preoccupazione che vale la pena prendere sul serio. Se l’IA può individuare controesempi e far emergere risultati che in precedenza richiedevano anni di sforzo umano specializzato, la natura stessa del lavoro matematico sta cambiando. La questione non è se l’IA contribuirà alla matematica. Lo ha già fatto. La questione è che tipo di comprensione venga costruita accanto a questi contributi, e chi sviluppi la capacità di generarla.
In sintesi
L’IA non ha risolto la congettura di Jacobian. L’ha confutata, trovando un controesempio che i matematici non erano riusciti a individuare per oltre un secolo. Si tratta di una pietra miliare significativa, ma anche parziale. Il risultato dimostra che l’IA può esplorare lo spazio matematico a una scala che gli esseri umani non possono eguagliare. Non dimostra ancora che l’IA possa ragionare all’interno di quello spazio nel modo in cui si produce una comprensione matematica duratura. Entrambe le cose sono vere contemporaneamente, e tenerle entrambe presenti è ciò che rende questo sviluppo davvero significativo anziché semplicemente sensazionale.
Basato su un articolo di Smithsonian Magazine.