Une idée mathématique qui résistait à toute résolution depuis le XIXe siècle a été réfutée en 2025, non pas par une équipe de chercheurs y ayant travaillé pendant des années, mais par un mathématicien travaillant aux côtés d’un modèle d’IA pendant un match de football. Le résultat a été vérifié de manière indépendante. Les mathématiciens la décrivent comme la conjecture la plus importante que l’IA a contribué à résoudre jusqu’à présent.
Une conjecture qui a survécu pendant plus d’un siècle
La conjecture du jacobien a une longue histoire. Le mathématicien tchèque Ludwig Kraus en a proposé une première version en 1884. Le mathématicien allemand Ott-Heinrich Keller l’a développée sous sa forme actuelle en 1939. La conjecture concerne les fonctions polynomiales : des opérations mathématiques qui prennent un ensemble de nombres en entrée et produisent un nouvel ensemble en sortie, déplaçant ainsi des points dans l’espace selon des règles fixes.
La question clé posée par la conjecture est de savoir si une propriété spécifique de ces fonctions, appelée le déterminant jacobien, garantit la réversibilité. Si le déterminant est toujours une constante non nulle, la conjecture soutient qu’il doit toujours exister un moyen d’inverser la fonction et de ramener chaque point à sa position d’origine. La réfuter nécessite de trouver un contre-exemple : une fonction dont le déterminant est une constante non nulle, mais où des points se confondent malgré tout, rendant l’inversion impossible.
Les mathématiciens savaient ce qu’ils cherchaient. Le problème était de le trouver. L’espace de recherche à travers toutes les fonctions polynomiales possibles est vaste, bien au-delà de ce que des chercheurs humains peuvent vérifier de manière systématique. Le lauréat de la médaille Fields Stephen Smale a estimé que le problème était suffisamment important pour l’inclure dans une liste de 18 problèmes mathématiques majeurs pour le XXIe siècle établie en 1998.
Comment la réfutation a été trouvée
Levent Alpöge, un mathématicien affilié à la fois à Anthropic et à Harvard University, a utilisé Claude Fable 5 d’Anthropic pour aborder le problème. Le résultat est une fonction polynomiale tridimensionnelle avec un déterminant jacobien constant qui confond néanmoins plusieurs points d’entrée, la rendant irréversible. C’est précisément le genre de contre-exemple dont la conjecture affirmait qu’il ne pouvait pas exister.
Alpöge a publié le résultat sur X, attribuant au mathématicien Akhil Mathew de la University of Chicago la suggestion du problème. Plusieurs mathématiciens indépendants ont depuis vérifié ce résultat. Abhishek Saha, mathématicien à la Queen Mary University of London, l’a décrit à New Scientist comme « probablement la plus grande conjecture que l’IA a joué un rôle significatif à prouver ou réfuter jusqu’à présent en mathématiques ».
Une limite importante : la réfutation s’applique aux espaces à trois dimensions ou plus. La question de savoir si la conjecture reste vraie dans des espaces de dimension inférieure demeure ouverte.
Ce que ce résultat nous apprend réellement sur l’IA en mathématiques
Voici ce que la plupart des articles traitant de cette histoire sous-estiment. Trouver un contre-exemple n’est pas la même chose que comprendre pourquoi la conjecture est fausse. Le mathématicien Andrew Blumberg, de la Columbia University, l’a exprimé sans détour : le résultat montre surtout qu’il existe « beaucoup de polynômes », qu’il est difficile pour les seuls humains de vérifier. L’IA, dans ce cas, a fonctionné comme un moteur de recherche extraordinairement performant à travers un espace d’objets mathématiques trop vaste pour une exploration manuelle.
C’est véritablement utile. C’est aussi véritablement limité. Une preuve mathématique complète peut faire plus de 100 pages, documentant non seulement la réponse, mais aussi le raisonnement qui y mène. Les modèles d’IA actuels ne sont pas encore capables de produire ce type de structure logique fiable, étape par étape. Akhil Mathew, qui a été crédité dans le billet d’Alpöge, a décrit la situation clairement : l’IA peut vérifier que quelque chose est correct, mais elle ne raconte pas encore d’histoire. Elle fait émerger le « comment » sans éclairer le « pourquoi ».
Blumberg a proposé une analogie percutante : si Moïse descendait d’une montagne avec une table de pierre portant l’inscription « le cancer peut être guéri », cette seule affirmation ne suffirait pas. La valeur de la résolution d’un problème difficile réside non seulement dans la réponse, mais dans ce que le chemin vers cette réponse révèle sur la structure sous-jacente du monde. Smale a inclus la conjecture du jacobien dans sa liste précisément parce qu’il pensait que sa résolution permettrait d’approfondir la compréhension de l’organisation de la nature.
Cette tension façonne la manière dont la communauté mathématique réagit. Après une autre avancée aidée par l’IA concernant un problème vieux de 80 ans posé par le mathématicien hongrois Paul Erdős, 16 mathématiciens ont publié la Leiden Declaration on Artificial Intelligence and Mathematics, approuvée par l’International Mathematical Union. Elle appelle à la divulgation de l’utilisation de l’IA, à l’attribution appropriée des travaux antérieurs et à une publication évaluée par des pairs avant toute annonce publique. La déclaration reflète une communauté qui cherche à établir rapidement des normes, alors que le rythme des découvertes assistées par l’IA s’accélère plus vite que prévu.
Mathew a décrit ce changement comme « très rapide et très déstabilisant, en particulier pour les jeunes mathématiciens ». Cette préoccupation mérite d’être prise au sérieux. Si l’IA peut localiser des contre-exemples et faire émerger des résultats qui nécessitaient auparavant des années d’efforts humains spécialisés, la nature même du travail mathématique est en train de changer. La question n’est pas de savoir si l’IA contribuera aux mathématiques. C’est déjà le cas. La question est de savoir quel type de compréhension se construit aux côtés de ces contributions, et qui développe la capacité de la générer.
En résumé
L’IA n’a pas résolu la conjecture du jacobien. Elle l’a réfutée, en trouvant un contre-exemple que les mathématiciens n’avaient pas réussi à localiser depuis plus d’un siècle. C’est une étape importante, mais elle est aussi partielle. Le résultat montre que l’IA peut explorer l’espace mathématique à une échelle que les humains ne peuvent pas égaler. Il ne montre pas encore que l’IA peut raisonner au sein de cet espace de manière à produire une compréhension mathématique durable. Ces deux réalités sont vraies simultanément, et les garder à l’esprit est ce qui rend cette évolution véritablement significative plutôt que simplement spectaculaire.
D’après un reportage de Smithsonian Magazine.